Les concepts algébriques
Vers la modélisation et la résolution d’équations
Avant d’être en mesure de bien modéliser les différentes situations qui vous seront proposées, vous devez préalablement être en mesure de différencier certains concepts. Vous apprendrez à distinguer le coefficient de la variable, de la constante et de l'exposant. Vous apprendrez également à simplifier des expressions déjà existante pour en arriver à en établir par vous-mêmes et à les résoudre par la suite.
Pour vous pratiquer à modéliser des situations algébriques, faites les exercices suivants.
Traduisez les situations en expressions algébriques simplifiées
2) les expressions simples
a) La somme de 4, de 8 et de u
b) Augmenter le nombre x de 5
c) J’ajoute 3 au nombre v
d) J’enlève 6 à y
e) –3 diminué de 9
f) Je retranche 8 à un nombre n
g) La soustraction de 7 et c
h) Le double d’un nombre b
i) Le triple de f
j) Le quadruple de p
k) La moitié de t
l) Le produit de 4 et n
m) 5 fois la valeur de s
n) Le quotient de d par 3
o) Le double de la somme de 3 et a
p) J’enlève 8 au quotient de b par 5
q) Le triple d’un nombre x diminué de 3
r) La somme de la moitié d’un nombre d et du tiers de c___________________________
s) Le produit de 2 nombres entiers consécutifs si le premier est p_____________________
t) Le partage de 50$ entre 2 personnes, écrire l’expression qui correspond à la valeur que chacun possède si les parts de chacun ne sont pas égales________________________________
u) Je gagne 20 $ de plus de l’heure que Sylvie, écrire l’expression qui correspond à la valeur de mon salaire
v) Le coût mensuel de mon auto est inférieur de 100$ à celui de mon loyer
3)
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les équations N’oubliez pas d’identifier la (ou les) variable(s) utilisée(s).
a) Le quart d’un nombre augmenté de 2 donne 25 _______________________________
b) Le produit d’un nombre réduit de 4 et 2 est 10
c) Retrancher 9 à la somme du double et du triple d’un nombre égale 36 ______________
d) La somme de trois nombres pairs consécutifs donne 72 __________________________
e) Louisette tape 10 mots par minute de plus que Sophie, si ensemble il tape 30 mots par minute, quelle est la vitesse de frappe de chacune?
f) Roger va rendre visite à ses parents. À l’aller il fait un détour vers un centre de liquidation d’articles de sport de 87 km. Quelle est la distance entre sa maison et celle de ses parents s’il a parcouru 734 km pour aller et le retour?
g)
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Harold coupe une planche de bois de 90cm en 2 parties. La plus grande mesure 12cm de plus que le plus petit. Quelle est la mesure de chaque partie? ______________________________
h) Lisette gagne 50$ de moins que le trois quarts du salaire de son conjoint. Ensemble il gagne 830$. Quel est le salaire de Lisette?
i) La hauteur d’un triangle est supérieure de 3cm de sa base. La somme de ces deux mesures donne 56cm. Quelles sont les dimensions du triangle (base et hauteur)?
j) Jaco a dans sa tirelire des pièces de 25¢ et des pièces de 1$. Le nombre de pièces de 25¢ est le quadruple de celui des pièces de 1$. Combien a-t-il d’argent dans sa tirelire s’il possède 125 pièces.
k) La somme de trois nombres est de 128. Le premier est supérieur de 4 au deuxième et le troisième est inférieur de 12 du premier. Quels sont ces trois nombres?
l) Jean et Marie ont économisé de l’argent pour leur prochain voyage. Ils ont amassé en tout 3000$. Si Marie donne 350$ à Jean, ils auront la même somme à dépenser. Combien d’argent chacun a-t-il économisé?
Vérification de résultats La vérification de résultats servira lorsque vous voudrez vous assurer d’avoir effectué les bons calculs. La façon de procéder lors de la vérification est très simple, vous devez tout simplement remplacer les variables par les valeurs qui leur sont associées. Si vous aviez à vérifier que 10x + 35 = 95 quand x = 6 vous devriez effectuer les étapes suivantes :
10x + 35 = 95
10(6) + 35 = 95
60 + 35 = 95
95 = 95 Puisque l’égalité est vrai il ne devrait pas y avoir d’erreur.
Pour vous pratiquer, faites la vérification des résultats des équations suivantes. Dites donc si c’est vrai ou non.
4) a) 12f + 3 = 70 où f = 6
b) 3x – 5 = 12x + 4 où x = -1
c)
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–7e + 15 = 1 où e = 2
d) où d = 10
e) où m = 14
Degré d’une expression algébrique Le degré d’une expression algébrique qui n’a qu’une seule variable est égal au plus haut degré de cette variable.
Exemple : 6x4 – x2 + 9x + 100 est de degré 4 puisque le plus haut degré de x est 4.
Le degré d’une expression algébrique à plusieurs variables est égal au degré du monôme ayant le plus haut degré. Note : s’il y a une multiplication de variables, il faut additionner le degré de chacune pour connaître le degré du monôme.
Exemple : 10x7 – 2y5 + 9x5y4 + 100y2 est de degré 9 puisque 10x7 est de degré 7, – 2y5 est de degré 5, 9x5y4 est de degré 9 (5 + 4), 100y2 est de degré 2. Le plus haut degré de chaque monôme étant 9, 9 est le degré du polynôme.
Résolution algébrique Résoudre une situation algébrique revient à déterminer la valeur numérique des inconnus dans la situation. Pour y arriver, il existe quelques étapes à suivre.
Étape 1 : Identifiez les variables et les équations.
Étape 2 : Simplifier les termes de chaque côté de l’équation.
Étape 3 : Déterminez de quel côté de l’équation vous placerez les variables.
Étape 4 : Amener les termes du bon côté du signe égal. Pour ce faire, vous devez effectuer l’opération inverse (addition et/ou soustraction), puis simplifiez lorsque possible.
Étape 5 : Simplifier le coefficient de la variable pour qu’il devienne 1. Pour ce faire, vous devez effectuer l’opération inverse (multiplication et/ou division), puis simplifiez lorsque possible.
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Étape 6 : Vérifier vos résultats
Étape 7 : Donnez la réponse complète (avec les unités de mesure)
Sachant que mon frère est deux fois plus vieux que moi actuellement et que la somme de l’âge de mon frère et de mon âge équivaut actuellement au triple de l’âge que nous avions ensemble il y a 8 ans, dites quel âge nous avons actuellement.
Étape 1 : Mon âge actuel :___________________________ a
L’âge actuel de mon frère : 2a
Mon âge il y a 8 ans : a – 8
L’âge de mon frère il y a 8 ans : 2a – 8
a + 2a = 3 [(a – 8) + (2a – 8)]
Étape 2 : 3a = 3 [a – 8 + 2a – 8]
3a = 3 [a + 2a – 8 – 8]
3a = 3 [3a – 16]
3a = 3 · 3a – 3 ·16
3a = 9a – 48
Étape 3 : Variables Constantes
Étape 4 : 3a – 9a = 9a – 9a – 48
–6a = – 48
Étape 5 : –6a = – 48
–6 . –6
a = 8
Étape 6 : a + 2a = 3 [(a – 8) + (2a – 8)]
(8) + 2(8) = 3 [((8) – 8) + (2(8) – 8)]
8 + 16 = 3[(8 – 8) + (16 – 8)]
24 = 3[0 + 8]
24 = 24 VRAI
Étape 7 : Mon frère a deux fois mon âge, donc 2a = 2(8) = 16
Donc, actuellement, j’ai 8 ans et mon frère en a 16.
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Pour vous pratiquer à résoudre des situations algébriques, reprenez les équations trouvées et corrigées au numéro 3 des pages B2-1.6 et B2-1.7, puis résolvez les.
5) a) Soit n = un nombre
+ 2 = 25
b) Soit n = un nombre
2n – 8 = 10
c) Soit n = un nombre
5n – 9 = 36
d) Soit n = un nombre pair
3n + 6 = 72
e) Soit m = le nombre de mots par minute tapés par Sophie
2m + 10 = 30
f) Soit d = distance entre chez Roger et chez ses parents
2d + 87 = 734
g) Soit g = la mesure de la grande partie et p = le mesure de la petite partie
2p + 12 = 90
h) Soit L = le salaire de Lisette et C = le salaire de son conjoint
1¾C – 50 = 830
i) Soit b = la base et h = la hauteur
2b + 3 = 56
j) Soit u = nombre de 1$ et v = le nombre de 25¢
5u = 125
k) Soit p = le premier nombre, d = le deuxième nombre et t = le troisième nombre
3d – 4 = 128
l) Soit m = le montant d’économie de Marie et j = le montant d’économie de Jean
2 650 – j = j + 350